Bài tập 13, § 5

Cho $(Z_{ij})$ ($1 \leq i, j \leq n$) là $n^2$ phần tử bất định trên một trường $K_0$. Cho A là vành đa thức $K_0[Z_{11}, ..., Z_{nn}]$, và cho $K = K_0(Z_{ij})$ là trường phân thức của nó; gọi $\chi_U$ là đa thức đặc trưng của ma trận $U = (Z_{ij})$ trên K. a) Chứng minh rằng $\chi_U$ là một đa thức bất khả quy tách được (chứng minh rằng, nếu $\chi_U$ khả quy trên K, thì nó sẽ là tích của hai đa thức trong $K_0[X, Z_{,,}]$ có bậc $> 0$ theo X : từ đó suy ra rằng đa thức đặc trưng của mọi ma trận bình phương cấp n trên K sẽ khả quy; rồi suy ra một mâu thuẫn từ ví dụ về một đa thức có các hệ số độc lập đại số trên $K_0$; dùng phương pháp tương tự để chứng minh tính tách được). b) Chứng minh rằng $U$ tương tự với một ma trận mà trong đó mọi phần tử đều bằng 0, 1 hoặc một hệ số của đa thức $\chi_U$ (xem VII, p. 30, công thức (2)). Suy ra rằng, nếu $K_0$ là một trường vô hạn, và p là một đa thức trong A sao cho $p(u_{ij}') = p(u_{ij}'')$ bất cứ khi nào các ma trận $(u_{ij}')$ và $(u_{ij}'')$ trên K, là tương tự, thì p thuộc về vành con của A sinh bởi các hệ số của $\chi_U$. Phát biểu và chứng minh kết quả tương tự đối với các hàm phân thức $r \in K = K_0(Z_{ij})$.