Exercice 13, § 5

Soit $(Z_{ij})$ ($1 \leq i, j \leq n$) une famille de $n^2$ indéterminées sur un corps $K_0$. Soient $A$ l’anneau de polynômes $K_0[Z_{11}, ..., Z_{nn}]$, et $K = K_0(Z_{ij})$ son corps des fractions ; soit $\chi_U$ le polynôme caractéristique de la matrice $U = (Z_{ij})$ sur $K$. a) Montrer que $\chi_U$ est un polynôme irréductible et séparable (on montrera que, si $\chi_U$ était réductible sur $K$, il serait le produit de deux polynômes de $K_0[X, Z_{ij}]$ de degrés $> 0$ en $X$; déduire de là que le polynôme caractéristique de toute matrice carrée d’ordre $n$ sur $K$ serait réductible ; tirer alors une contradiction de l’exemple d’un polynôme à coefficients algébriquement indépendants sur $K_0$; méthode analogue pour la séparabilité). b) Montrer que $U$ est semblable à une matrice dont chaque coefficient est égal à 0, à 1, ou à un coefficient du polynôme $\chi_U$ (*cf. VII, p. 29, formule (2)). En déduire que, si $K_0$ est un corps infini, et si $p$ est un polynôme de $A$ tel que $p(u'_{ij}) = p(u''_{ij})$ chaque fois que les matrices $(u'_{ij})$ et $(u''_{ij})$ sur $K_0$ sont semblables, $p$ est dans le sous-anneau de $A$ engendré par les coefficients de $\chi_U$. Énoncer et démontrer le résultat analogue pour les fractions rationnelles $r \in K = K_0(Z_{ij})$.