Bài tập 10, Phụ lục 1

Giả sử $k$ là một trường, A là một $k$-đại số vô hạn chiều, và mọi iđêan trái thực sự của A đều hữu hạn chiều trên $k$.

a) Chứng minh rằng ta có $A\mathfrak{a}= 0$ với mọi iđêan trái $\mathfrak{a}\not= A$ (xét đồng cấu $\gamma : A\rightarrow$ End$_k(\mathfrak{a})$).

b) Cho $\mathfrak{r}$ là tổng của các iđêan trái cực đại của A. Chứng minh rằng $\mathfrak{r}$ khác A (dùng Bài tập 9), rằng $\mathfrak{r}$ là một iđêan hai phía, và rằng $A/\mathfrak{r}$ là một trường (xem Bài tập 7). c) Cho $u$ là một đơn vị trái hoặc phải modulo $\mathfrak{r}$. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{r}u=\mathfrak{r}$ (nhận xét rằng ta có $Au= A$).

d) Chứng minh rằng $\mathfrak{r}A$ là không (xét linh tử phải của $\mathfrak{r}$ trong A và lập luận như ở a)) rồi rằng $\mathfrak{r}$ là không. Kết luận rằng A là một trường.