Exercice 10, Annexe 1

On suppose que $k$ est un corps, que A est une $k$-algèbre de dimension infinie sur $k$ et que tout idéal à gauche de A distinct de A est de dimension finie sur $k$.

a) Prouver qu’on a $A\mathfrak{a}= (0)$ pour tout idéal à gauche $\mathfrak{a}\not= A$ (considérer l’homomorphisme $\gamma : A\rightarrow$ End$_k(\mathfrak{a})$).

b) Soit $\mathfrak{r}$ la somme des idéaux à gauche maximaux de A. Prouver que $\mathfrak{r}$ est distinct de A (utiliser l’exerc. 9), que $\mathfrak{r}$ est un idéal bilatère et que $A/\mathfrak{r}$ est un corps (cf. exerc. 7).

c) Soit $u$ une unité (à gauche et à droite) modulo $\mathfrak{r}$; démontrer qu’on a $\mathfrak{r}u=\mathfrak{r}$ (observer qu’on a $Au= A$).

d) Prouver que $\mathfrak{r}A$ est nul (considérer l’annulateur à droite de $\mathfrak{r}$ dans A, en raisonnant comme en a)), puis que $\mathfrak{r}$ est nul ; conclure que A est un corps.