Bài tập 11, Phụ lục 1

Giả sử rằng $k$ là một trường, A là một $k$-đại số, và mọi dãy giảm các đại số con của A đều dừng.

a) Chứng minh rằng đại số A là Artin và căn của nó là hữu hạn chiều trên $k$ (áp dụng Bài tập 9).

b) Gọi S là một thành phần đơn của $A/\Re (A)$ (Bài tập 7); nó đẳng cấu với một đại số ma trận trên một trường D, có tâm là Z. Chứng minh rằng D là hữu hạn chiều trên Z (nếu D chứa một phần tử siêu việt trên Z, hãy xây dựng một dãy vô hạn giảm nghiêm ngặt các trường con của D; nếu D là đại số và vô hạn chiều trên Z, hãy xây dựng một dãy vô hạn tăng ngặt các trường con của D, và xét các tâm hóa tử của chúng trong D).

c) Chứng minh rằng nếu Z là vô hạn chiều trên $k$, thì ta có S = D (xét các đại số con lũy linh của B).

d) Chứng minh rằng Z là một mở rộng đại số của $k$. Gọi $p$ là số mũ đặc số của $k$ và L là mở rộng tách được lớn nhất của $k$ được chứa trong Z. Chứng minh rằng $L\cap Z^p$ có bậc hữu hạn trên $L^p$ (xét một $p$-cơ sở của $L\cap Z^p$ trên $L^p$).

e) Mọi dãy giảm các mở rộng con của L đều dừng. Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng điều kiện này không kéo theo rằng L có bậc hữu hạn trên $k$ (x. V, §12, p. 167, Bài tập 3). f ) Ngược lại, cho B là một $k$-đại số thỏa mãn các điều kiện của a) sao cho mọi thành phần đơn của $B/\Re (B)$ đều thỏa mãn các điều kiện của b), c), d), và e). Chứng minh rằng mọi dãy giảm các đại số con của B đều dừng.

(Rút gọn về trường hợp B là một trường, có tâm là Z. Cho $(D_n)$ là một dãy giảm các trường con của B; ta có thể giả sử rằng trường D sinh bởi $D_n$ và Z là độc lập với $n$. Hãy nhận thấy rằng ta có thể viết $D = E\otimes_LZ$, trong đó L là một trường con của Z có bậc hữu hạn trên $k$ và E là một trường có bậc hữu hạn trên L mà tâm chứa L. Chứng minh khi đó $D_n$ là trường sinh bởi E và $D_n\cap Z$. Như vậy ta được rút về trường hợp B là một trường giao hoán là một mở rộng căn $p$ của $k$. Nếu $(F_n)$ là một dãy giảm các mở rộng con của B, hãy xét trường con $k(F^{p^{\infty}}_n)$, trong đó $F^{p^{\infty}}_n=\cap_fF^{p^f}_n.$)