Exercice 11, Annexe 1

On suppose que $k$ est un corps, que A est une $k$-algèbre et que toute suite décroissante de sous-algèbres de A est stationnaire.

a) Prouver que l’algèbre A est artinienne et que son radical est de dimension finie sur $k$ (appliquer l’exerc. 9).

b) Soit S un composant simple de $A/\Re (A)$ (exerc. 7) ; il est isomorphe à une algèbre de matrices sur un corps D, de centre Z. Prouver que D est de dimension finie sur Z (si D contient un élément transcendant sur Z, construire une suite infinie strictement décroissante de sous-corps de D ; si D est algébrique et de dimension infinie sur Z, construire une suite infinie strictement croissante de sous-corps de D et considérer leurs commutants dans D).

c) Si Z est de dimension infinie sur $k$, prouver qu’on a S = D (considérer les sous-algèbres nilpotentes de B).

d) Prouver que Z est une extension algébrique de $k$. Soient $p$ l’exposant caractéristique de $k$ et L la plus grande extension séparable de $k$ contenue dans Z ; démontrer que $L\cap Z^p$ est de degré fini sur $L^p$ (considérer une $p$-base de $L\cap Z^p$ sur $L^p$).

e) Toute suite décroissante de sous-extensions de L est stationnaire. Démontrer par un exemple que cette condition n’entraîne pas que L soit de degré fini sur $k($cf. V, p. 157, exerc. 3).

f ) Inversement, soit B une $k$-algèbre satisfaisant aux conditions de a), telle que tout composant simple de $B/\Re (B)$ satisfasse aux conditions de b), c), d) et e). Prouver que toute suite décroissante de sous-algèbres de B est stationnaire.

(Se ramener au cas où B est un corps, de centre Z. Soit $(D_n)$ une suite décroissante de sous-corps de B ; on peut supposer que le corps D engendré par $D_n$ et Z est indépendant de $n$. Remarquer qu’on peut écrire $D = E\otimes_LZ$, où L est un sous-corps de Z de degré fini sur $k$ et E un corps dont le centre contient L et est de degré fini sur L ; démontrer qu’alors $D_n$ est le corps engendré par E et $D_n\cap Z$. On est ainsi ramené au cas où B est un corps commutatif, extension radicielle de $k$; si $(F_n)$ est une suite décroissante de sous-extensions de B, considérer les sous-corps $k(F^{p^{\infty}}_n)$, avec $F^{p^{\infty}}_n=\cap_fF^{p^f}_n.$)