Bài tập 12, Phụ lục 1

a) Giả sử rằng $k$ là một trường, rằng đại số A trên $k$ là Artin, và mọi dãy tăng các đại số con của A đều dừng. Chứng minh rằng A có bậc hữu hạn trên $k$. (Lập luận như trong Bài tập 11. Chú ý rằng trường $k(X)$ chứa một dãy tăng ngặt vô hạn các đại số con, bằng cách dùng VII, §1, No. 5, p. 6, Mệnh đề 6.) b) Chứng minh rằng trong đại số đa thức $k[X]$, mọi dãy tăng các đại số con đều dừng. (Cho $f\in k[X]$ là một đa thức không hằng và A là đại số con trên $k$ của $k[X]$ sinh bởi 1 và $f$. Nhận thấy rằng A là một miền iđêan chính và $k[X]$ là một A-môđun hữu hạn sinh.)