Exercice 12, Annexe 1

a) On suppose que $k$ est un corps, que la $k$-algèbre A est artinienne et que toute suite croissante de sous-algèbres de A est stationnaire. Prouver que A est de degré fini sur $k$ (raisonner comme dans l’exerc. 11; on notera que le corps $k(X)$ contient une suite infinie strictement croissante de sous-algèbres en utilisant VII, p. 6, prop. 6).

b) Démontrer que dans l’algèbre de polynômes $k[X]$, toute suite croissante de sous-algèbres est stationnaire (soient $f\in k[X]$ un polynôme non constant et A la sous-$k$-algèbre de $k[X]$ engendrée par 1 et $f$; observer que A est un anneau principal et $k[X]$ un A-module de type fini).