Bài tập 6, Phụ lục 1

Ta nói rằng một $k$-đại số là nguyên thủy nếu nó thừa nhận một giả môđun vừa đơn vừa trung thành (nghĩa là, linh hóa tử của nó bằng 0).

a) Chứng minh rằng nếu đại số $\widetilde{A}$ là nguyên thủy, thì A cũng nguyên thủy.

b) Nếu đại số A là nguyên thủy và có đơn vị, thì đại số $\widetilde{A}$ không nguyên thủy.

c) Giả sử rằng $k$ là một trường và đại số A là nguyên thủy và không có đơn vị. Chứng minh rằng $\widetilde{A}$ là nguyên thủy (chứng minh rằng nếu tồn tại một giả môđun trung thành trên A mà không trung thành với tư cách là một $\widetilde{A}$-môđun, thì A thừa nhận một phần tử đơn vị phải $u$, và suy ra mâu thuẫn).