Exercice 6, Annexe 1

On dit qu’une $k$-algèbre est primitive si elle admet un pseudomodule simple et fidèle (c’est-à-dire dont l’annulateur est réduit à (0)).

a) Montrer que si l’algèbre $\widetilde{A}$ est primitive il en est de même de A.

b) Si l’algèbre A est primitive et unifère, l’algèbre $\widetilde{A}$ n’est pas primitive.

c) On suppose que $k$ est un corps et que l’algèbre A est primitive et non unifère ; prouver que $\widetilde{A}$ est primitive (s’il existe un pseudomodule fidèle sur A qui n’est pas fidèle en tant que $\widetilde{A}$-module, prouver que A admet un élément unité à droite $u$ et en déduire une contradiction).