Bài tập 14, § 12

Cho V là một không gian vectơ trên một trường D. Ký hiệu vành tự đồng cấu của nhóm Abel V bởi Ω, và đồng nhất D với một vành con của Ω. Đặt A = End$_D(V)$.

a) Chứng minh rằng A và D rời nhau tuyến tính trên tâm chung Z của chúng (xem Bài tập 5, d)).

b) Ảnh của $D\otimes_ZA$ trong Ω bằng End$_Z(V)$ khi và chỉ khi D có hạng hữu hạn trên Z. (Để thấy rằng điều kiện là cần, trước hết suy ra trường hợp V = D từ Bài tập 5, e), rồi cố định một phần tử $x\not= 0$ của V và xét đại số con B của End$_Z(V)$ gồm các tự đồng cấu Z $u$ của V sao cho $u(Dx)\subset Dx$. Nhận xét rằng đẳng thức End$_Z(V) =$ DA kéo theo $B = D(B\cap A).)$