Bài tập 1, § 13

Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. Ta gọi một A-môđun M là tuyệt đối không căn nếu với mọi mở rộng L của K, $A_{(L)}$-môđun $M_{(L)}$ là không căn. Ta nói rằng đại số A là tuyệt đối không căn nếu A-môđun $A_s$ là tuyệt đối không căn.

a) Một đại số giao hoán tuyệt đối không căn thì tách được (V, §15, No. 2, p. 119, Định nghĩa 1).

b) Mọi môđun con của một môđun tuyệt đối không căn đều là tuyệt đối không căn; một tổng trực tiếp của các môđun tuyệt đối không căn là tuyệt đối không căn.

c) Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh; khi đó M là tuyệt đối không căn khi và chỉ khi tồn tại một trường hoàn hảo P là một mở rộng đại số của K sao cho $\mathfrak{R}_{A_{(P)}}(M_{(P)}) = 0$.

d) Một A-môđun nửa đơn M là tuyệt đối không căn khi và chỉ khi mọi môđun đơn thuộc giá của M đều như vậy.

e) Cho S là một A-môđun đơn và D là hoán tập của nó. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) A-môđun S là tuyệt đối không căn.

(ii) Đại số trên K D là tuyệt đối không căn.

(iii) Tâm của D là một mở rộng tách được của K.

f ) Một đại số nửa đơn là tuyệt đối không căn khi và chỉ khi tâm của mỗi thành phần đơn của nó là một mở rộng tách được của K.

g) Chứng minh rằng một A-môđun tuyệt đối không căn và hữu hạn chiều trên K là nửa đơn tuyệt đối.