Exercice 1, § 13

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. On dit qu’un A-module M est absolument sans radical si pour toute extension L de K, le $A_{(L)}$-module $M_{(L)}$ est sans radical. On dit que l’algèbre A est absolument sans radical si le A-module $A_s$ est absolument sans radical.

a) Une algèbre commutative absolument sans radical est séparable (V, p. 114, déf. 1).

b) Tout sous-module d’un module absolument sans radical est absolument sans radical ; une somme directe de modules absolument sans radical est absolument sans radical.

c) Soit M un A-module de type fini ; pour que M soit absolument sans radical, il faut et il suffit qu’il existe un corps parfait P, extension algébrique de K, tel que $\mathfrak{R}_{A_{(P)}}(M_{(P)}) = 0$.

d) Pour qu’un A-module semi-simple M soit absolument sans radical, il faut et il suffit que tout module simple appartenant au support de M le soit.

e) Soient S un A-module simple, D son commutant. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Le A-module S est absolument sans radical ;

(ii) La K-algèbre D est absolument sans radical ;

(iii) Le centre de D est une extension séparable de K.

f ) Pour qu’une algèbre semi-simple soit absolument sans radical, il faut et il suffit que le centre de chacun de ses composants simples soit une extension séparable de K.

g) Prouver qu’un A-module absolument sans radical de dimension finie sur K est absolument semi-simple.