Bài tập 10, § 13

Cho K là một vành giao hoán, A là một đại số trên K, và P là một song môđun $(A$, A). Một mở rộng của A bởi P là một bộ ba $(B, i, p)$, trong đó B là một đại số trên K, $p: B\rightarrow A$ là một đồng cấu toàn ánh của các đại số trên K, và $i: P\rightarrow B$ là một đồng cấu K-tuyến tính đơn ánh có ảnh là Ker $p$, thỏa mãn $i(p(b)x) =b i(x)$ và $i(x p(b)) =i(x)b$ với $x\in P$ và $b\in B$. Một đẳng cấu từ một mở rộng $(B, i, p)$ đến một mở rộng $(B', i', p')$ là một đẳng cấu của các đại số trên K $u: B\rightarrow B'$ sao cho $p'\circ u=p$ và $u\circ i=i'$.

a) Cho $(B, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P; ảnh của $i$ là một iđêan hai phía của B có bình phương bằng không. Ngược lại, nếu $p: B\rightarrow A$ là một đồng cấu toàn ánh của các đại số trên K mà hạt nhân P của nó có bình phương bằng không và $i$ là đơn ánh chính tắc của P vào B, thì bộ ba $(B, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P.

b) Cho $i_0: P\rightarrow A\oplus P$ và $p_0: A\oplus P\rightarrow A$ là các ánh xạ chính tắc. Tồn tại duy nhất một cấu trúc đại số trên K trên $A\oplus P$ sao cho $(A\oplus P, i_0, p_0)$ là một mở rộng của A bởi P. Chứng minh rằng nhóm tự đẳng cấu của mở rộng này có thể được đồng nhất với nhóm các K-dẫn xuất từ A đến P.

c) Cho $(B, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Mở rộng $(B, i, p)$ đẳng cấu với mở rộng $(A\oplus P, i_0, p_0)$.

(ii) Tồn tại một đồng cấu của các đại số trên K $s: A\rightarrow B$ sao cho $p\circ s=$ Id$_A$.

(iii) Tồn tại một đại số con S của B sao cho $B = S\oplus i(P)$.

Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, thì ta nói rằng mở rộng $(B, i, p)$ là tầm thường. d) Cho $(B, i, p)$ và $(B', i', p')$ là các mở rộng của A bởi P. Gọi C là đại số con của $B\times B'$ gồm các phần tử $(b, b')$ sao cho $p(b) =p'(b')$, gọi $\mathfrak{c}$ là iđêan hai phía của C gồm các phần tử $(i(x),-i'(x))$ với $x\in P$, và gọi $B''$ là đại số $C/\mathfrak{c}$ và $\pi : C\rightarrow B''$ là đồng cấu chính tắc. Gọi $i'': P\rightarrow B''$ và $p'': B''\rightarrow A$ là các đồng cấu được định nghĩa bởi $i''(x) =\pi (i(x),0)$ và $p''(\pi (b, b')) =$ $p(b)$ với $x\in P,b\in B,b'\in B'$. Hãy chứng minh rằng $(B'', i'', p'')$ là một mở rộng của A bởi P; nó được gọi là tổng dính của $(B, i, p)$ và $(B', i', p')$. Hãy chứng minh rằng như vậy ta định nghĩa được một luật nhóm giao hoán trên tập hợp Ex$_K(A,P)$ các lớp đẳng cấu của các mở rộng của A bởi P, mà phần tử trung hòa là lớp của mở rộng tầm thường. Hơn nữa, tác động của K trên Ex$_K(A,P)$ cho bởi $\lambda (B, i, p) = (B, \lambda^{-1}i, p)$ với $\lambda \in K,\lambda \not= 0$ xác định một cấu trúc K-môđun trên Ex$_K(A,P)$.

e) Cho $u: P\rightarrow P'$ là một đồng cấu của các $(A$, A)-song môđun, và cho $(B, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P. Đặt $B'$ là tổng dính $B\oplus_PP'$ (II, §1, p. 381, Bài tập 5); với $b\in B, x'\in P'$, ký hiệu lớp của $(b, x')$ trong $B'$ bởi $[b, x']$. Cho $i': P'\rightarrow B',p': B'\rightarrow A$, và $v: B\rightarrow B'$ là các ánh xạ được định nghĩa bởi

Chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc đại số duy nhất trên $B'$ sao cho $(B', i', p')$ là một mở rộng của A bởi $P'$ và $v$ là một đồng cấu đại số. Ta nói rằng $(B', i', p')$ là mở rộng của A bởi $P'$ suy ra từ $(B, i, p)$ qua $u$; mọi mở rộng $(C, j, q)$ của A bởi $P'$ mà đối với nó tồn tại một đồng cấu đại số $w: B\rightarrow C$ thỏa mãn $q\circ w=p$ và $w\circ i=j\circ v$ đều đẳng cấu với $(B', i', p')$.

f ) Ánh xạ Hom$_{(A,A)}(P,P')\times$ Ex$_K(A,P)\rightarrow$ Ex$_K(A,P')$ gửi một cặp $(u,(B, i, p))$ đến lớp của mở rộng suy ra từ $(B, i, p)$ qua $u$ là song tuyến tính trên K. g) Cho $f: A'\rightarrow A$ là một đồng cấu đại số trên K, và cho $(B, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P. Tương tự, định nghĩa cấu trúc đại số trên tích thớ $B''= B\times_AA'$ và một mở rộng $(B'', i'', p'')$ của $A'$ bởi P, được gọi là suy ra từ $(B, i, p)$ qua $f$.

h) Giả sử hơn nữa rằng đại số A là giao hoán. Chứng minh rằng các lớp mở rộng $(B, i, p)$ của A bởi P sao cho đại số B là giao hoán tạo thành một K-môđun con của Ex$_K(A,P)$, mà ta ký hiệu là Ex$^c_K(A,P)$.