Exercice 10, § 13

Soient K un anneau commutatif, A une K-algèbre et P un $(A$, A)-bimodule. On appelle extension de A par P un triplet $(B, i, p)$, où B est une K-algèbre, $p: B\rightarrow A$ un homomorphisme surjectif de K-algèbres, $i: P\rightarrow B$ un homomorphisme K-linéaire injectif d’image Ker $p$, satisfaisant à $i(p(b)x) =b i(x)$ et $i(x p(b)) =i(x)b$ pour $x\in P,b\in B$. On appelle isomorphisme de l’extension $(B, i, p)$ sur l’extension $(B', i', p')$ tout isomorphisme de K-algèbres $u: B\rightarrow B'$ tel que $p'\circ u=p$ et $u\circ i=i'$.

a) Soit $(B, i, p)$ une extension de A par P ; l’image de $i$ est un idéal bilatère de carré nul de B. Inversement, si $p: B\rightarrow A$ est un homomorphisme surjectif de K-algèbres dont le noyau P est de carré nul et $i$ l’injection canonique de P dans B, le triplet $(B, i, p)$ est une extension de A par P.

b) Soient $i_0: P\rightarrow A\oplus P$ et $p_0: A\oplus P\rightarrow A$ les applications canoniques. Il existe une unique structure de K-algèbre sur $A\oplus P$ telle que $(A\oplus P, i_0, p_0)$ soit une extension de A par P. Démontrer que le groupe des automorphismes de cette extension s’identifie au groupe des K-dérivations de A dans P.

c) Soit $(B, i, p)$ une extension de A par P. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’extension $(B, i, p)$ est isomorphe à l’extension $(A\oplus P, i_0, p_0)$;

(ii) Il existe un homomorphisme de K-algèbres $s: A\rightarrow B$ tel que $p\circ s=$ Id$_A$;

(iii) Il existe une sous-algèbre S de B telle que $B = S\oplus i(P)$.

On dit alors que l’extension $(B, i, p)$ est triviale.

d) Soient $(B, i, p), (B', i', p')$ des extensions de A par P. Soient C la sous-algèbre de $B\times B'$ formée des éléments $(b, b')$ tels que $p(b) =p'(b'),\mathfrak{c}$ l’idéal bilatère de C formé des éléments $(i(x),-i'(x))$ pour $x\in P, B''$ l’algèbre $C/\mathfrak{c},\pi : C\rightarrow B''$ l’homomorphisme canonique. Soient $i'': P\rightarrow B''$ et $p'': B''\rightarrow A$ les homomorphismes définis par $i''(x) =$ $\pi (i(x),0),p''(\pi (b, b')) =p(b)$ pour $x\in P,b\in B,b'\in B'$. Démontrer que $(B'', i'', p'')$ est une extension de A par P, appelée extension somme de $(B, i, p)$ et $(B', i', p')$, et que l’on définit ainsi une loi de groupe commutatif sur l’ensemble Ex$_K(A,P)$ des classes d’isomorphisme d’extensions de A par P, dont l’élément neutre est la classe de l’extension triviale. De plus l’action de K sur Ex$_K(A,P)$ telle que $\lambda (B, i, p) = (B, \lambda^{-1}i, p)$ pour $\lambda \in K,\lambda \not= 0$ définit une structure de K-module sur Ex$_K(A,P)$.

e) Soit $u: P\rightarrow P'$ un homomorphisme de $(A$, A)-bimodules et soit $(B, i, p)$ une extension de A par P. Soit $B'$ la somme amalgamée $B\oplus_PP'$ (II, p. 179, exerc. 5) ; pour $b\in B, x'\in P'$, on note $[b, x']$ la classe de $(b, x')$ dans $B'$. Soient $i': P'\rightarrow B',p': B'\rightarrow A$, $v: B\rightarrow B'$ les applications définies par

Démontrer qu’il existe une unique structure d’algèbre sur $B'$ telle que $(B', i', p')$ soit une extension de A par $P'$ et $v$ un homomorphisme d’algèbres. On dit que $(B', i', p')$ est l’extension de A par $P'$ déduite de $(B, i, p)$ au moyen de $u$; toute extension $(C, j, q)$ de A par $P'$ pour laquelle il existe un homomorphisme d’algèbres $w: B\rightarrow C$ satisfaisant à $q\circ w=p$ et $w\circ i=j\circ v$ est isomorphe à $(B', i', p')$.

f ) L’application Hom$_{(A,A)}(P,P')\times$ Ex$_K(A,P)\longrightarrow$ Ex$_K(A,P')$ qui associe à un couple $(u,(B, i, p))$ la classe de l’extension déduite de $(B, i, p)$ au moyen de $u$ est K-bilinéaire.

g) Soit $f: A'\rightarrow A$ un homomorphisme de K-algèbres et soit $(B, i, p)$ une extension de A par P. Définir de même une structure d’algèbre sur le produit fibré $B''= B\times_AA'$ et une extension $(B'', i'', p'')$ de $A'$ par P, dite déduite de $(B, i, p)$ au moyen de $f$.

h) On suppose en outre l’algèbre A commutative. Démontrer que les classes d’extensions $(B, i, p)$ de A par P telles que l’algèbre B soit commutative forment un sous-K-module Ex$^c_K(A,P)$ de Ex$_K(A,P)$.