Bài tập 11, § 13

a) Cho $f$ là một phần tử của $C^2(A,P)$ (VIII, p. 239). Chứng minh rằng ta định nghĩa cấu trúc một đại số trên K-môđun $A\oplus P$ bằng cách đặt $(a, x)(a', x') =$ $(aa', ax'+xa'+f(a, a'))$. Đơn ánh chính tắc $i: P\rightarrow A\oplus P$ và toàn cấu chính tắc $p: A\oplus P\rightarrow A$ là các đồng cấu vành, và bộ ba $(A\oplus P, i, p)$ là một mở rộng của A bởi P (hãy nhận thấy rằng ta có $f(a,1) =af(1,1)$ và $f(1, a) =f(1,1)a$ với mọi $a\in A$).

b) Chứng minh rằng lớp đẳng cấu của mở rộng này chỉ phụ thuộc vào lớp của $f$ trong $H^2(A,P)$. Vậy phép dựng trong a) định nghĩa một đẳng cấu K-môđun từ $H^2(A,P)$ đến K-môđun con của Ex$_K(A,P)$ gồm các mở rộng của A bởi P tầm thường như các mở rộng của K-môđun.

c) Giả sử rằng vành A là giao hoán; ký hiệu bởi $C^2(A,P)^s$ K-môđun con của $C^2(A,P)$ gồm các phần tử $f$ sao cho $f(x, y) =f(y, x)$ với mọi $x, y$ trong A và bởi $H^2(A,P)^s$ ảnh của $C^2(A,P)^s$ trong $H^2(A,P)$. Chứng minh rằng đẳng cấu ở b) cảm sinh một đẳng cấu từ $H^2(A,P)^s$ lên K-môđun con của Ex$^c_K(A,P)$ gồm các mở rộng giao hoán của A bởi P mà tầm thường như các mở rộng của K-môđun.