Exercice 11, § 13

a) Soit $f$ un élément de $C^2(A,P)$ (VIII, p. 235). Démontrer qu’on définit une structure d’algèbre sur le K-module $A\oplus P$ en posant $(a, x)(a', x') = (aa', ax'+xa'+f(a, a'))$; l’injection canonique $i: P\rightarrow A\oplus P$ et la surjection canonique $p: A\oplus P\rightarrow A$ sont des homomorphismes d’anneaux, et le triplet $(A\oplus P, i, p)$ est une extension de A par P (observer qu’on a $f(a,1) =af(1,1)$ et $f(1, a) =f(1,1)a$ pour tout $a\in A$).

b) Prouver que la classe d’isomorphisme de cette extension ne dépend que de la classe de $f$ dans $H^2(A,P)$ et qu’on définit ainsi un isomomorphisme de K-modules de $H^2(A,P)$ sur le sous-K-module de Ex$_K(A,P)$ formé des extensions de A par P qui sont triviales comme extensions de K-modules.

c) On suppose l’anneau A commutatif ; on note $C^2(A,P)^s$ le sous-K-module de $C^2(A,P)$ formé des éléments $f$ tels que $f(x, y) =f(y, x)$ quels que soient $x, y$ dans A, et $H^2(A,P)^s$ l’image de $C^2(A,P)^s$ dans $H^2(A,P)$. Prouver que l’isomorphisme précédent induit un isomorphisme de $H^2(A,P)^s$ sur le sous-K-module de Ex$^c_K(A,P)$ formé des extensions commutatives de A par P qui sont triviales comme extensions de K-modules.