Bài tập 4, § 13

Cho K là một trường giao hoán có đặc số $p >0$, và $a$ là một phần tử của K - $K^p$. Ký hiệu đại số trên K (hữu hạn chiều) $K[X]/((X^p-a)^2)$ là A. Chứng minh rằng căn $\mathfrak{r}$ của A có bình phương bằng không, rằng đại số trên K $A/\mathfrak{r}$ đẳng cấu với mở rộng căn $L = K[X]/(X^p-a)$ của K, và rằng A không chứa đại số con trên K nào đẳng cấu với L.