Exercice 4, § 13

Soit K un corps commutatif de caractéristique $p >0$ et soit $a$ un élément de K - $K^p$. On désigne par A la K-algèbre (de dimension finie) $K[X]/((X^p-a)^2)$. Démontrer que le radical $\mathfrak{r}$ de A est de carré nul, que la K-algèbre $A/\mathfrak{r}$ est isomorphe à l’extension radicielle $L = K[X]/(X^p-a)$ de K et que A ne contient pas de sous-K-algèbre isomorphe à L.