Bài tập 6, § 13

Cho K là một trường giao hoán và E là một mở rộng của K. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Với mọi mở rộng tách được L của K, vành $E_{(L)}$ là nửa đơn.

(ii) Trường E là một mở rộng thuần túy không tách được của một mở rộng tách được của K có bậc hữu hạn.

(Giả sử (i), dùng hệ quả của V, §17, No. 2, p. 140 và Bài tập 4 của V, §2, p. 146 để chứng minh rằng E là một mở rộng đại số của K. Sau đó, chứng minh rằng bao đóng tách được $E_s$ của K trong E có bậc hữu hạn. Để làm điều đó, chú ý rằng trong trường hợp ngược lại, vành $E_{(L)}$, trong đó L là một bao đóng tách được của K, sẽ chứa các họ phần tử lũy đẳng trực giao $(e_1, . . . , e_n)$ với $n$ lớn tùy ý. Giả sử (ii), chứng minh rằng nếu $E_{s(L)}$ đẳng cấu với $\prod^r_{j=1}C_j$, thì $E_{(L)}$ đẳng cấu với $\prod^r_{j=1}D_j$, trong đó $D_j$ là một mở rộng thuần túy không tách được của $C_j.$)