Exercice 6, § 13

Soient K un corps commutatif et E une extension de K. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Pour toute extension séparable L de K, l’anneau $E_{(L)}$ est semi-simple ;

(ii) E est une extension radicielle d’une extension séparable de degré fini de K.

(Sous l’hypothèse (i), prouver à l’aide du cor. de V, p. 134 et de l’exerc. 4 (§2) de V, p. 140 que E est une extension algébrique de K ; prouver ensuite que la fermeture séparable $E_s$ de K dans E est de degré fini, en remarquant que dans le cas contraire, l’anneau $E_{(L)}$, où L est une clôture séparable de K, contiendrait des familles d’idempotents orthogonaux $(e_1, . . . , e_n)$ avec $n$ arbitrairement grand. Sous l’hypothèse (ii), démontrer que si $E_{s(L)}$ est isomorphe à $\prod^r_{j=1}C_j, E_{(L)}$ est isomorphe à $\prod^r_{j=1}D_j$, où $D_j$ est une extension radicielle de $C_j.$)