Bài tập 12, § 14

Cho K là một trường giao hoán, đầy đủ đối với một định giá rời rạc $v($Comm. Alg., VI) mà ta giả sử là chuẩn hóa (nghĩa là, $v(K^*) =\mathbf{Z}$). Ký hiệu vành của $v$ là A và trường thặng dư của nó là $\kappa$. Nhắc lại (loc. cit.) rằng nếu L là một mở rộng hữu hạn của K, thì định giá $v$ thừa nhận một mở rộng duy nhất $v_L$ lên L; ta nói rằng mở rộng này là không phân nhánh nếu $v_L$ có các giá trị nguyên.

a) Cho D là một trường có tâm K; gọi Nrd$: D\rightarrow K$ là chuẩn rút gọn trên D (VIII, p. 340, Định nghĩa 2). Chứng minh rằng ánh xạ $w_0=v\circ$ Nrd là một định giá trên D (để chứng minh bất đẳng thức $w_0(x+y)\geqslant$ inf($w_0(x), w_0(y)$), hãy quy về trường hợp $y= 1$, và nhận thấy rằng hạn chế của $w_0$ lên $K(x)$ là một bội của $v_{K(x)}$). Ký hiệu bởi $w$ định giá chuẩn hóa trên D tương đương với $w_0$.

b) Một phần tử $x$ của L là nguyên trên A khi và chỉ khi ta có $w(x)\geqslant 0$; tập hợp các phần tử này tạo thành một vành con B của D.

c) Từ bây giờ giả sử rằng trường $\kappa$ là hoàn hảo. Chứng minh rằng nếu D phân biệt với K, thì nó chứa một mở rộng không phân nhánh của K phân biệt với K. (Trong trường hợp đối, hãy nhận thấy rằng ta có $[\kappa_L:\kappa ] = 1$ với mọi mở rộng L của K được chứa trong D. Cho $b\in B$, và gọi $\pi$ là một phần tử đều của D. Áp dụng nhận xét trước cho trường $K(b)$, và chứng minh rằng $b$ thuộc bao đóng của $A(\pi )$. Vì không gian con $K(\pi )$ là đóng trong D (EVT, I, §2, n$^o3$, p. 14, hệ quả 1), ta thu được $B\subset K(\pi )$ và cuối cùng $D = K(\pi ).$) d) Chứng minh rằng tồn tại một trường con giao hoán cực đại của D không phân nhánh trên K. (Dùng quy nạp theo bậc thu gọn của D bằng cách xét một trường con L của D không phân nhánh trên K và áp dụng giả thiết quy nạp cho hoán tập của L trong $D.$)$*$