Exercice 12, § 14

Soit K un corps commutatif, complet pour une valuation discrète $v$ (AC, VI), que l’on suppose normée (c’est-à-dire $v(K^*) =\mathbf{Z}$); on désigne par A l’anneau de $v$ et par $\kappa$ son corps résiduel. On rappelle (loc. cit.) que si L est une extension finie de K, la valuation $v$ admet un unique prolongement $v_L$ à L ; on dit que l’extension est non ramifiée si $v_L$ est à valeurs entières.

a) Soit D un corps de centre K ; soit Nrd$: D\rightarrow K$ la norme réduite de D (VIII, p. 334, déf. 2). Démontrer que l’application $w_0=v\circ$ Nrd est une valuation sur D (pour prouver l’inégalité $w_0(x+y)\geqslant$ inf($w_0(x), w_0(y)$), se ramener au cas $y= 1$, et observer que la restriction de $w_0$ à $K(x)$ est multiple de $v_{K(x)}$). On note $w$ la valuation normée sur D équivalente à $w_0$.

b) Pour qu’un élément $x$ de L soit entier sur A, il faut et il suffit qu’on ait $w(x)\geqslant 0$; l’ensemble de ces éléments forme un sous-anneau B de D.

c) On suppose désormais le corps $\kappa$ parfait. Si D est distinct de K, prouver qu’il contient une extension non ramifiée de K, distincte de K (dans le cas contraire, observer qu’on a $[\kappa_L:\kappa ] = 1$ pour toute extension L de K contenue dans D. Soit $b\in B$, et soit $\pi$ une uniformisante de D ; en appliquant la remarque précédente au corps $K(b)$, prouver que $b$ est adhérent à $A(\pi )$. Comme le sous-espace $K(\pi )$ est fermé dans D (EVT, I, p. 14, cor. 1), on obtient $B\subset K(\pi )$ et finalement $D = K(\pi )$).

d) Prouver qu’il existe un sous-corps commutatif maximal de D qui est non ramifié sur K (raisonner par récurrence sur le degré réduit de D, en considérant un sous-corps L de D non ramifié sur K et en appliquant l’hypothèse de récurrence au commutant de L dans $D$)$.*$