Bài tập 14, § 14

Cho D là một trường, Z là tâm của nó, V là một không gian vectơ trái trên D, và Ω là vành tự đồng cấu của nhóm Abel V. Trang bị cho Ω cấu trúc song môđun tự nhiên $(D$, D)-song môđun. Gọi Γ là nhóm tự đẳng cấu của D và Δ là nhóm con các tự đẳng cấu nội (đẳng cấu với $D^*/Z^*$).

Cho S là một tập con của Ω gồm các ánh xạ nửa tuyến tính (đối với một phần tử của Γ) và F là không gian con D-tuyến tính trái của Ω sinh bởi S; nó trùng với không gian con D-tuyến tính phải sinh bởi S.

a) Với $\theta \in \Gamma /\Delta$, ký hiệu $S_{\theta}$ là tập hợp các ánh xạ nửa tuyến tính từ V vào chính nó đối với một tự đẳng cấu của D thuộc $\theta$ và ký hiệu $F_{\theta}$ là không gian D-tuyến tính của F sinh bởi $S_{\theta}$. Chứng minh rằng F là tổng trực tiếp của các không gian con $F_{\theta}$ với $\theta \in \Gamma /\Delta$. b) Chứng minh rằng nếu $S_{\theta}$ là một tập con tự do trên Z, thì nó cũng là tự do (trái và phải) trên D (lập luận như trong chứng minh Định lý 1 của V, §6, No. 1, p. 27).

c) Cho E là một $(D$, D)-môđun con song của F. Chứng minh rằng E được sinh (trên D) bởi các ánh xạ nửa tuyến tính thuộc $F_{\theta}$. (Cho B là một cơ sở của F được chứa trong S. Chứng minh rằng E được sinh bởi các vectơ $u\in E$ có tính chất sau: nếu $u=\sum^n_i\lambda_ib_i$ với $\lambda_i\not= 0$ và $b_i\in B$ với mọi $i$, thì giao của E và không gian con của F được sinh bởi các $b_i$ được rút gọn thành $Du$. Sau đó suy ra từ a) rằng $u$ là nửa tuyến tính.)