Exercice 14, § 14

Soient D un corps, Z son centre, V un espace vectoriel à gauche sur D et Ω l’anneau des endomorphismes du groupe abélien V ; on le munit de sa structure naturelle de $(D$,D)-bimodule. Soient Γ le groupe des automorphismes de D et Δ le sous-groupe des automorphismes intérieurs (isomorphe à $D^*/Z^*$).

Soient S un sous-ensemble de Ω formé d’applications semi-linéaires (relativement à un élément de Γ) et F le sous-D-espace vectoriel à gauche de Ω engendré par S ; il coïncide avec le sous-D-espace vectoriel à droite engendré par S.

a) Pour $\theta \in \Gamma /\Delta$, on note $S_{\theta}$ l’ensemble des applications semi-linéaires de V dans lui-même relativement à un automorphisme de D appartenant à $\theta$ et $F_{\theta}$ le sous-D-espace vectoriel de F engendré par $S_{\theta}$. Prouver que F est somme directe des sous-espaces $F_{\theta}$ pour $\theta \in \Gamma /\Delta$.

b) Prouver que si $S_{\theta}$ est une partie libre sur Z, elle est aussi libre (à gauche et à droite) sur D (raisonner comme dans la démonstration du th. 1 de V, p. 26).

c) Soit E un sous-(D,D)-bimodule de F. Prouver que E est engendré (sur D) par des applications semi-linéaires appartenant aux $F_{\theta}$.

(Soit B une base de F contenue dans S ; prouver que E est engendré par les vecteurs $u\in E$ possédant la propriété suivante : si $u=\sum^n_i\lambda_ib_i$, avec $\lambda_i\not= 0$ et $b_i\in B$ pour tout $i$, l’intersection de E avec le sous-espace de F engendré par les $b_i$ est réduite à $Du$. Déduire alors de a) que $u$ est semi-linéaire.)