Bài tập 18, § 14

Cho K là một trường giao hoán, Z là một mở rộng cyclic của K (V, §11, No. 6, p. 85) bậc $n\geqslant 3$, và $\sigma$ là một phần tử sinh của nhóm Galois của Z trên K. Ký hiệu A là vành $\mathbf{M}_2(Z)$ và B là vành con của A gồm các ma trận $\begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & \sigma(z) \end{pmatrix}$ với $z\in Z$. a) Giữ ký hiệu của Bài tập 17. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm Galois G các tự đẳng cấu của A sao cho $A^G= K, (G : G_0) =n$, và $U_0(G) = A$.

b) Chứng minh rằng B là một vành con đơn của A nhưng hoán tập của nó $B'_0$ trong A lại đẳng cấu với $Z\times Z$.

c) Gọi H là nhóm các tự đẳng cấu của A cố định B. Chứng minh rằng $A^H$ bằng $B'_0$. Xây dựng một đẳng cấu từ B lên Z cố định K nhưng không mở rộng thành một tự đẳng cấu của A (xem Bài tập 17, b)).

d) Chứng minh rằng vành con B của A là Galois yếu nhưng không Galois (Bài tập 16; mô tả hoán tập của B trong Ω).