Exercice 18, § 14

Soient K un corps commutatif, Z une extension cyclique de K (V, p. 81) de degré $n\geqslant 3,\sigma$ un générateur du groupe de Galois de Z sur K. On désigne par A l’anneau $\mathbf{M}_2(Z)$ et par B le sous-anneau de A formé des matrices $\begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & \sigma(z) \end{pmatrix}$ pour $z\in Z$.

a) Avec les notations de l’exerc. 17, démontrer qu’il existe un groupe galoisien G d’automorphismes de A tel qu’on ait $A^G= K, (G : G_0) =n, U_0(G) = A$.

b) Démontrer que B est un sous-anneau simple de A, mais que son commutant $B'_0$ dans A est isomorphe à $Z\times Z$.

c) Soit H le groupe des d’automorphismes de A fixant B ; démontrer que $A^H$ est égal à $B'_0$. Construire un isomorphisme de B sur Z qui fixe K mais ne se prolonge pas en un automorphisme de A (cf. exerc. 17 b)).

d) Prouver que le sous-anneau B de A est faiblement galoisien mais non galoisien (exerc. 16; décrire le commutant de B dans Ω).