Bài tập 3, § 14

a) Cho K là một trường giao hoán, A là một đại số trên K, và B là một đại số con đơn tâm của A có hạng hữu hạn. Gọi $B'$ là hoán tập của B trong A. Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc từ $B\otimes_KB'$ vào A là song ánh. (Chú ý rằng B và $B'$ độc lập tuyến tính trên K (VIII, p. 225, Bài tập 5, d)). Hơn nữa, chứng minh rằng A là tổng trực tiếp của một họ $(M_{\iota})_{\iota\in I}$ các $(B\otimes_KB^o$)-môđun đẳng cấu với B, và nhận thấy rằng với mọi $\iota \in I$, phần tử của $M_{\iota}$ tương ứng với $1\in B$ bởi một đẳng cấu như vậy thuộc về $B'.)$

b) Ngược lại, cho B là một đại số trên K sao cho với mọi đại số A chứa B và có cùng phần tử đơn vị như B, đồng cấu chính tắc từ $B\otimes_KB'$ vào A là song ánh. Chứng minh rằng đại số B là đơn tâm và có hạng hữu hạn (lấy A = End$_K(B)$; suy ra từ giả thiết rằng B là trung tâm và tựa đơn, và dùng Bài tập 5, e) của VIII, p. 225).