Exercice 3, § 14

a) Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, B une sous-algèbre de A simple, centrale et de rang fini. Soit $B'$ le commutant de B dans A ; prouver que l’homomorphisme canonique de $B\otimes_KB'$ dans A est bijectif (remarquer que B et $B'$ sont linéairement disjoints sur K (VIII, p. 221, exerc. 5 d)) ; démontrer d’autre part que A est somme directe d’une famille $(M_{\iota})_{\iota\in I}$ de $(B\otimes_KB^o$)-modules isomorphes à B et observer que pour chaque $\iota \in I$ l’élément de $M_{\iota}$ correspondant à $1\in B$ par un tel isomorphisme appartient à $B')$.

b) Inversement, soit B une K-algèbre telle que pour toute algèbre A contenant B et ayant même élément unité, l’homomorphisme canonique de $B\otimes_KB'$ dans A soit bijectif. Démontrer que l’algèbre B est centrale, simple et de rang fini (prendre A = End$_K(B)$; déduire de l’hypothèse que B est centrale et quasi-simple, puis utiliser l’exerc. 5, e) de VIII, p. 221).