Bài tập 3, § 8

Ta nói rằng một iđêan (trái hoặc phải) $\mathfrak{a}$ của một vành là lũy linh nếu tồn tại một số nguyên $n$ sao cho mọi tích của $n$ phần tử của $\mathfrak{a}$ đều bằng không.

a) Cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan trái lũy linh của A. Chứng minh rằng iđêan hai phía $\mathfrak{a}A$ được sinh bởi $\mathfrak{a}$ là lũy linh.

b) Ta nói rằng một vành A là nửa nguyên tố nếu nó không chứa bất kỳ iđêan hai phía lũy linh khác không nào. Ta nói rằng một iđêan hai phía $\mathfrak{a}$ của A là nửa nguyên tố nếu vành thương $A/\mathfrak{a}$ là nửa nguyên tố. Chứng minh rằng giao của một họ các iđêan (hai phía) nửa nguyên tố là một iđêan nửa nguyên tố và rằng một iđêan nửa nguyên tố chứa mọi iđêan lũy linh của A.

c) Một iđêan (hai phía) nguyên tố (VIII, p. 133, Bài tập 15) là nửa nguyên tố. Một iđêan hai phía $\mathfrak{a}$ là nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là giao của các iđêan nguyên tố chứa nó. (Nếu $a \notin \mathfrak{a}$, hãy xét một iđêan cực đại trong số các iđêan hai phía chứa $\mathfrak{a}$ và không chứa bất kỳ lũy thừa nào của $a.$)