Exercice 3, § 8

On dit qu’un idéal (à gauche ou à droite) $\mathfrak{a}$ d’un anneau est nilpotent s’il existe un entier $n$ tel que tout produit de $n$ éléments de $\mathfrak{a}$ soit nul.

a) Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche nilpotent de A. Démontrer que l’idéal bilatère $\mathfrak{a}A$ engendré par $\mathfrak{a}$ est nilpotent.

b) On dit qu’un anneau A est semi-premier s’il ne contient pas d’idéal bilatère nilpotent non nul ; on dit qu’un idéal bilatère $\mathfrak{a}$ de A est semi-premier si l’anneau quotient $A/\mathfrak{a}$ est semi-premier. Démontrer que l’intersection d’une famille d’idéaux (bilatères) semi-premiers est un idéal semi-premier et qu’un idéal semi-premier contient tout idéal nilpotent de A.

c) Un idéal (bilatère) premier (VIII, p. 129, exerc. 15) est semi-premier ; pour qu’un idéal bilatère $\mathfrak{a}$ soit semi-premier, il faut et il suffit qu’il soit l’intersection des idéaux premiers qui le contiennent (si $a \notin \mathfrak{a}$, considérer un idéal maximal parmi les idéaux bilatères contenant $\mathfrak{a}$ et ne contenant aucune puissance de $a$).