Bài tập 11, § 9

Cho A là một vành giao hoán và B là vành A[X].

a) Trước hết, giả sử rằng A không có phần tử lũy linh khác không. Cho $f=\sum_ia_iX^i$ và $g=\sum_ib_iX^i$ là hai phần tử của B. Hãy chứng minh rằng ta có $a_pb_q= 0$ với $p+q >$ deg($f g$). b) Cho $\mathfrak{N}$ là căn lũy linh của A (Bài tập 6). Hãy chứng minh rằng một đa thức $f\in B$ là khả nghịch trong B khi và chỉ khi số hạng tự do của nó là khả nghịch trong A và các hệ số còn lại của nó thuộc $\mathfrak{N}$ (áp dụng a) cho ảnh của $f$ trong $(A/\mathfrak{N})[X])$. c) Suy ra rằng căn của B là iđêan $\mathfrak{N}[X]$ và nó bằng căn lũy linh của B.