Exercice 11, § 9

Soient A un anneau commutatif, B l’anneau A[X].

a) On suppose d’abord que A n’a pas d’élément nilpotent non nul. Soient $f=\sum_ia_iX^i$, $g=\sum_ib_iX^i$ deux éléments de B. Démontrer qu’on a $a_pb_q= 0$ pour $p+q >$ deg($f g$).

b) Soit $\mathfrak{N}$ le nilradical de A (exerc. 6). Prouver que, pour qu’un polynôme $f\in B$ soit inversible dans B, il faut et il suffit que son terme constant soit inversible dans A et que ses autres coefficients appartiennent à $\mathfrak{N}$ (appliquer a) à l’image de $f$ dans $(A/\mathfrak{N})[X])$.

c) En déduire que le radical de B est l’idéal $\mathfrak{N}[X]$, et qu’il est égal au nilradical de B.