Bài tập 15, § 9

Cho $V_0$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n$ trên một trường D, và cho B là một vành con của vành End$_D(V_0)$. Đặt $V_k= V_0$ với $k\geqslant 1$ và $V =\oplus_{k\geqslant 0}V_k$. Xét tập hợp A gồm các tự đồng cấu $u$ của V sao cho tồn tại một số nguyên $m$ (phụ thuộc vào $u$) sao cho ta có $u(V_k)\subset \oplus_{i\leqslant m}V_i$ với $k\leqslant m$ và $u(V_k)\subset V_k$ với $k > m$ và rằng, với $k > m$, tự đồng cấu của $V_k$ thu được bằng hạn chế là không phụ thuộc vào $k$ và thuộc B.

a) Chứng minh rằng A là một vành nguyên thủy và rằng đế của nó gồm các phần tử $u$ của A sao cho $u(V_k) = 0$ với mọi chỉ số $k$ trừ hữu hạn (VIII, p. 130, Bài tập 8). b) Chọn $D,n$, và B thích hợp để cho một ví dụ về một vành nguyên thủy có một vành thương với căn khác không lũy linh và một ví dụ về một vành nguyên thủy mà tâm của nó có căn khác không.