Exercice 15, § 9

Soient $V_0$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps D et B un sous-anneau de l’anneau End$_D(V_0)$. On pose $V_k= V_0$ pour $k\geqslant 1$, et $V =\oplus_{k\geqslant 0}V_k$. On considère l’ensemble A des endomorphismes $u$ de V pour lesquels il existe un entier $m$ (dépendant de $u$) tel qu’on ait $u(V_k)\subset \oplus_{i\leqslant m}V_i$ pour $k\leqslant m,u(V_k)\subset V_k$ pour $k > m$, et que l’endomorphisme de $V_k$ obtenu par restriction pour $k > m$ soit indépendant de $k$ et appartienne à B.

a) Démontrer que A est un anneau primitif, et que son socle est formé des éléments $u$ de A tels que $u(V_k) = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices $k$ (VIII, p. 126, exerc. 8).

b) En choisissant convenablement $D,n$ et B, donner un exemple d’anneau primitif dont un anneau quotient ait un radical non nul et nilpotent, et un exemple d’anneau primitif dont le centre ait un radical non nul.