Bài tập 16, § 9

Cho A là một vành và $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía được chứa trong căn của A. Cho M và N là các A-môđun và $u: M\rightarrow N$ là một đồng cấu. Ta ký hiệu bởi $\overline{u}: M/\mathfrak{a}M\rightarrow N/\mathfrak{a}N$ đồng cấu của các $A/\mathfrak{a}$-môđun suy ra từ $u$.

a) Giả sử rằng M và N là sinh hữu hạn và N là xạ ảnh. Nếu $\overline{u}$ là song ánh, thì u cũng là song ánh.

b) Hãy cho một ví dụ với M và N tự do hạng 1 và $\overline{u}$ đơn ánh nhưng Ker($u$)$\not= 0$. c) Giả sử rằng M và N là xạ ảnh. Nếu $\overline{u}$ sinh ra một đẳng cấu tới một nhân tử trực tiếp, thì $u$ là đơn ánh (rút gọn về trường hợp M và N tự do và bằng nhau và $\overline{u}$ là đồng nhất, rồi dùng a)). Nếu hơn nữa M là sinh hữu hạn, thì ảnh của $u$ là một nhân tử trực tiếp của N. d) Giả sử rằng M là sinh hữu hạn và N là xạ ảnh. Nếu $u$ là song ánh, thì $u$ cũng là song ánh (áp dụng c) cho một đồng cấu $v: N\rightarrow M$ sao cho $v=u^{-1}$ để kết luận rằng N là sinh hữu hạn). e) Nếu M là xạ ảnh và $M/\mathfrak{a}M$ là không, thì M là không.