Exercice 16, § 9

Soient A un anneau, $\mathfrak{a}$ un idéal bilatère contenu dans le radical de A, M et N des A-modules, $u: M\rightarrow N$ un homomorphisme. On note $\overline{u}: M/\mathfrak{a}M\rightarrow N/\mathfrak{a}N$ l’homomorphisme de $A/\mathfrak{a}$-modules déduit de $u$.

a) On suppose M et N de type fini et N projectif. Si $\overline{u}$ est bijectif, $u$ est bijectif.

b) Donner un exemple avec M et N libres de rang un, $\overline{u}$ injectif mais Ker($u$)$\not= 0$.

c) On suppose M et N projectifs. Si $\overline{u}$ induit un isomorphisme sur un facteur direct, $u$ est injectif (se ramener au cas où M et N sont libres et égaux et où $\overline{u}$ est l’identité, puis utiliser a)). Si de plus M est de type fini, l’image de $u$ est un facteur direct de N.

d) On suppose M de type fini et N projectif. Si $\overline{u}$ est bijectif, $u$ est bijectif (appliquer c) à un homomorphisme $v: N\rightarrow M$ tel que $\overline{v}=\overline{u}^{-1}$ pour conclure que N est de type fini).

e) Si M est projectif et $M/\mathfrak{a}M$ est nul, M est nul.