Bài tập 17, § 9

Cho K là một trường giao hoán và L là một tập hợp. a) Hãy chứng minh rằng tồn tại một K-đại số A nhận một cơ sở gồm phần tử đơn vị, một họ $(c_{\lambda})_{\lambda\in L}$, và một họ $(r_{\lambda \mu})_{(\lambda ,\mu)\in L\times L}$, với bảng nhân

$c^2_{\lambda}=c_{\lambda},c_{\lambda}c_\mu=r_{\lambda \mu}$ nếu $\lambda \not=\mu$

trong đó $\delta_{\mu\nu}$ là hàm delta Kronecker. Chứng minh rằng $\mathfrak{R}(A)$ là đại số con của A sinh bởi các $r_{\lambda \mu}$; ta có $\mathfrak{R}(A)^2= 0$. b) Giả sử Card(L) $\geqslant 2$. Chứng minh rằng tâm Z của A là không gian vectơ trên K sinh bởi 1, các $r_{\lambda \lambda}$ với $\lambda \in L$, và, nếu L hữu hạn, phần tử $\sum_{\lambda}c_{\lambda}-\sum_{\mu\not=\nu}r_{\mu\nu}$. Suy ra rằng với $\lambda \in L$, không có phần tử lũy đẳng nào trong Z đồng dư với $c_{\lambda}$ (mod $\mathfrak{R}(A)$).