Exercice 17, § 9

Soient K un corps commutatif, L un ensemble.

a) Démontrer qu’il existe une K-algèbre A admettant une base formée de l’élément unité, d’une famille $(c_{\lambda})_{\lambda\in L}$ et d’une famille $(r_{\lambda \mu})_{(\lambda ,\mu)\in L\times L}$, avec la table de multiplication

$c^2_{\lambda}=c_{\lambda},c_{\lambda}c_{\mu}=r_{\lambda \mu}$ si $\lambda \not=\mu ,c_{\lambda}r_{\mu \nu}=\delta_{\lambda \mu}r_{\mu \nu}$,

où $\delta_{\mu \nu}$ désigne le symbole de Kronecker. Démontrer que $\mathfrak{R}(A)$ est la sous-algèbre de A engendrée par les $r_{\lambda \mu}$; on a $\mathfrak{R}(A)^2= 0$.

b) On suppose Card(L) $\geqslant 2$. Démontrer que le centre Z de A est le K-espace vectoriel engendré par 1, les $r_{\lambda \lambda}$ pour $\lambda \in L$, et, si L est fini, l’élément $\sum_{\lambda}c_{\lambda}-\sum_{\mu\not=\nu}r_{\mu \nu}$. En déduire que pour $\lambda \in L$, il n’existe pas d’élément idempotent dans Z congru à $c_{\lambda}$ (mod $\mathfrak{R}(A)$).