Bài tập 21, § 9

Cho A là một vành, $u: P\rightarrow M$ là một đồng cấu toàn ánh của các A-môđun, và N là hạt nhân của nó. Ta ký hiệu End$_A(P; N)$ (tương ứng Aut$_A(P; N)$) là vành các nội đồng cấu (tương ứng nhóm các tự đồng cấu) $u$ của P sao cho $u(N)\subset N$.

a) Định nghĩa một dãy khớp

$0\rightarrow$ Hom$_A(P,N)\rightarrow^i$ End$_A(P; N)\rightarrow^p$ End$_A(M)$

trong đó ảnh của $i$ là một iđêan hai phía $\mathfrak{I}$ của vành End$_A(P; N)$.

b) Giả sử rằng $(P, u)$ là một bao xạ ảnh của M. Khi đó $p$ là toàn ánh và cảm sinh một đồng cấu toàn ánh $p':$ Aut$_A(P; N)\rightarrow$ Aut$_A(M)$. Ta có một dãy khớp các nhóm

$0\rightarrow 1_P+\mathfrak{I}\rightarrow$ Aut$_A(P; N)\rightarrow^{p'}$ Aut$_A(M)\rightarrow 0$;

nếu P là tự do và N không thu về 0, thì đồng cấu $p'$ không đơn ánh.