Exercice 21, § 9

Soient A un anneau, $u: P\rightarrow M$ un homomorphisme surjectif de A-modules, N son noyau. On note End$_A(P; N)$ (resp. Aut$_A(P; N)$) l’anneau des endomorphismes (resp. le groupe des automorphismes) $u$ de P tels que $u(N)\subset N$.

a) Définir une suite exacte

$0\rightarrow$ Hom$_A(P,N)\rightarrow^i$ End$_A(P; N)\rightarrow^p$ End$_A(M)$,

où l’image de $i$ est un idéal bilatère $\mathfrak{I}$ de l’anneau End$_A(P; N)$.

b) On suppose que $(P, u)$ est une couverture projective de M. Alors $p$ est surjectif, et induit un homomorphisme surjectif $p':$ Aut$_A(P; N)\longrightarrow$ Aut$_A(M)$. On a une suite exacte de groupes

$0\rightarrow 1_P+\mathfrak{I}\longrightarrow$ Aut$_A(P; N)\rightarrow^{p'}$ Aut$_A(M)\rightarrow 0$;

si P est libre et N non réduit à 0, l’homomorphisme $p'$ n’est pas injectif.