Bài tập 23, § 9

Cho A là một vành và $\mathfrak{a}$ là một iđêan (trái) của A. Giả sử rằng với mọi dãy $(a_n)_{n\geqslant 1}$ các phần tử của $\mathfrak{a}$, tồn tại một số nguyên $m$ sao cho $a_1\cdots a_m= 0$. Chứng minh rằng ta có $\mathfrak{a}M\not= M$ đối với mọi A-môđun khác không M (nếu không, hãy xây dựng, bằng quy nạp, các dãy $(a_n)_{n\geqslant 1}$ trong $\mathfrak{a}$ và $(x_n)_{n\geqslant 1}$ trong M sao cho ta có $a_1\cdots a_px_p\not= 0$ với mọi $p$).