Exercice 23, § 9

Soient A un anneau, $\mathfrak{a}$ un idéal (à gauche) de A. On suppose que pour toute suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ d’éléments de $\mathfrak{a}$, il existe un entier $m$ tel que $a_1. . . a_m= 0$. Démontrer qu’on a $\mathfrak{a}M\not= M$ pour tout A-module non nul M (dans le cas contraire, construire par récurrence des suites $(a_n)_{n\geqslant 1}$ dans $\mathfrak{a}$ et $(x_n)_{n\geqslant 1}$ dans M telles qu’on ait $a_1. . . a_px_p\not= 0$ pour tout $p$).