Bài tập 24, § 9

Cho A là một vành và $\mathfrak{r}$ là căn của nó. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Mọi A-môđun trái sinh hữu hạn đều có một phủ xạ ảnh.

(i’) Mọi A-môđun phải sinh hữu hạn đều có một phủ xạ ảnh.

(ii) Vành $A/\mathfrak{r}$ là nửa đơn, và mọi phần tử lũy đẳng trong $A/\mathfrak{r}$ đều là lớp của một phần tử lũy đẳng trong A.

(Để chứng minh (i)$\Rightarrow$(ii), hãy quan sát rằng mọi phân tích $A/\mathfrak{r}=\mathfrak{a}_1\oplus \mathfrak{a}_2$ thành một tổng trực tiếp các iđêan đều nâng thành một phân tích $A = P_1\oplus P_2$, trong đó $P_i$ là một phủ xạ ảnh của $\mathfrak{a}_i$. Hơn nữa, hãy chỉ ra rằng (ii) kéo theo mọi $A/\mathfrak{r}$-môđun đều có dạng $(A/\mathfrak{r})\otimes_AP$, trong đó P là một A-môđun xạ ảnh.)