Exercice 24, § 9

Soient A un anneau, $\mathfrak{r}$ son radical. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Tout A-module à gauche de type fini admet une couverture projective ;

(i’) Tout A-module à droite de type fini admet une couverture projective ;

(ii) L’anneau $A/\mathfrak{r}$ est semi-simple et tout élément idempotent de $A/\mathfrak{r}$ est la classe d’un idempotent de A.

(Pour prouver (i)$\Rightarrow$(ii), remarquer que toute décomposition $A/\mathfrak{r}=\mathfrak{a}_1\oplus \mathfrak{a}_2$ en somme directe d’idéaux se relève en une décomposition $A = P_1\oplus P_2$, où $P_i$ est une couverture projective de $\mathfrak{a}_i$. Montrer d’autre part que (ii) entraîne que tout $A/\mathfrak{r}$-module est de la forme $(A/\mathfrak{r})\otimes_AP$, où P est un A-module projectif.)