Bài tập 25, § 9

Cho A là một vành và $\mathfrak{r}$ là căn của nó. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Mọi A-môđun trái đều thừa nhận một phủ xạ ảnh.

(i’) Mọi A-môđun phải đều thừa nhận một phủ xạ ảnh.

(ii) Vành $A/\mathfrak{r}$ là nửa đơn, và với mọi dãy $(a_n)_{n\geqslant 1}$ các phần tử của $\mathfrak{r}$, tồn tại một số nguyên $m$ sao cho $a_1\cdots a_m= 0$.

(Chứng minh (ii)$\Rightarrow$(i) theo cùng cách như hàm ý tương ứng của Bài tập 24, sử dụng Bài tập 23. Giả sử rằng điều kiện (i) được thỏa mãn. Xét môđun con M của $A^{(\mathbf{N})}$ sinh bởi $e_1-a_1e_2,e_2-a_2e_3, . .$.. Suy ra từ Bài tập 16, e) áp dụng cho một phủ xạ ảnh của $A^{(\mathbf{N})}/M$ rằng ta có $M = A^{(\mathbf{N})}$, điều này kéo theo $a_1\cdots a_n= 0$ với $n$ đủ lớn.)