Exercice 25, § 9

Soient A un anneau, $\mathfrak{r}$ son radical. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Tout A-module à gauche admet une couverture projective ;

(i’) Tout A-module à droite admet une couverture projective ;

(ii) L’anneau $A/\mathfrak{r}$ est semi-simple, et pour toute suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ d’éléments de $\mathfrak{r}$, il existe un entier $m$ tel que $a_1. . . a_m= 0$.

(Démontrer (ii)$\Rightarrow$(i) comme l’implication correspondante de l’exerc. 24, en utilisant l’exerc. 23. Sous l’hypothèse (i), considérer le sous-module M de $A^{(\mathbf{N})}$ engendré par $e_1-a_1e_2, e_2-a_2e_3, . .$.; déduire de l’exerc. 16 e) appliqué à une couverture projective de $A^{(\mathbf{N})}/M$ qu’on a $M = A^{(\mathbf{N})}$, ce qui entraîne $a_1. . . a_n= 0$ pour $n$ assez grand.)