Bài tập 26, § 9

Một vành A được gọi là một vành Zorn nếu mọi iđêan trái của A không phải là một iđêan nil đều chứa một phần tử lũy đẳng khác không.

a) Chứng minh rằng trong một vành Zorn, mọi iđêan phải không phải là một iđêan nil đều chứa một phần tử lũy đẳng khác không (hãy nhận xét rằng với mọi phần tử không lũy linh $a$ của A, tồn tại một $x\in A$ sao cho $xaxa=xa\not= 0$).

b) Chứng minh rằng căn của một vành Zorn là một iđêan nil và một vành Zorn không có ước số không là một trường.

c) Chứng minh rằng một vành nguyên thủy có đế khác không là một vành Zorn (xem VIII, p. 129, Bài tập 4, b) và p. 130, Bài tập 7, a)). Hãy cho một ví dụ về một vành nguyên thủy không phải là một vành Zorn (xem VIII, p. 132, Bài tập 13) và một ví dụ về một vành nguyên thủy có đế khác không nhưng tâm của nó không phải là một vành Zorn (dùng phương pháp của Bài tập 12).

d) Cho K là một trường giao hoán và A là vành con của $K(X)^{\mathbf{N}}$ gồm các dãy $s= (f_n)$ sao cho tồn tại một đa thức $\varphi (s)\in K[X]$ mà $f_n$ bằng $\varphi (s)$ với $n$ đủ lớn. Chứng minh rằng A là một vành Zorn giao hoán, không có căn, chứa các phần tử vừa không khả nghịch vừa không là ước số không, nhưng ảnh của nó $\varphi (A)$ không phải là một vành Zorn.