Exercice 26, § 9

On dit qu’un anneau A est un anneau de Zorn si tout idéal à gauche de A qui n’est pas un nilidéal contient un élément idempotent non nul.

a) Démontrer que dans un anneau de Zorn, tout idéal à droite qui n’est pas un nilidéal contient un élément idempotent non nul (remarquer que pour tout élément non nilpotent $a$ de A il existe $x\in A$ tel que $xaxa=xa\not= 0$).

b) Démontrer que le radical d’un anneau de Zorn est un nilidéal et qu’un anneau de Zorn sans diviseur de 0 est un corps.

c) Démontrer qu’un anneau primitif dont le socle n’est pas nul est un anneau de Zorn (cf. VIII, p. 125, exerc. 4, b) et p. 126, exerc. 7 a)). Donner un exemple d’anneau primitif qui n’est pas un anneau de Zorn (cf. VIII, p. 128, exerc. 13), et un exemple d’anneau primitif dont le socle n’est pas nul, mais dont le centre n’est pas un anneau de Zorn (utiliser la méthode de l’exerc. 12).

d) Soient K un corps commutatif et A le sous-anneau de $K(X)^{\mathbf{N}}$ formé des suites $s= (f_n)$ pour lesquelles il existe un polynôme $\varphi (s)\in K[X]$ tel que $f_n$ soit égal à $\varphi (s)$ pour $n$ asez grand. Démontrer que A est un anneau de Zorn commutatif, sans radical, contenant des éléments non inversibles et non diviseurs de 0, mais que son image $\varphi (A)$ n’est pas un anneau de Zorn.