Bài tập 27, § 9

Một vành A được gọi là phẳng tuyệt đối, hay chính quy von Neumann, nếu với mọi phần tử $a$ của A, tồn tại một $x\in A$ sao cho $axa=a$.

a) Một vành A là phẳng tuyệt đối khi và chỉ khi mọi iđêan trái (hoặc phải) đơn sinh của A đều nhận một phần bù trong $A_s$ (nghĩa là, đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng).

b) Chứng minh rằng mọi iđêan sinh hữu hạn của một vành phẳng tuyệt đối đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng. (Rút gọn về trường hợp một iđêan $Ae+ Af$, trong đó $e$ và $f$ là các phần tử lũy đẳng. Sau đó, bằng cách thay thế $Ae$ bằng $Ae(1-f)$, rút gọn về trường hợp $ef= 0$, và xét phần tử $e+f-f e.$) Một vành $A$ (trái hoặc phải) Noether phẳng tuyệt đối là nửa đơn.

c) Suy ra từ b) rằng giao của hai iđêan trái đơn sinh (tương ứng, phải) của một vành phẳng tuyệt đối là đơn sinh (xét các linh hóa tử phải).

d) Mọi vành thương của một vành phẳng tuyệt đối đều là phẳng tuyệt đối, cũng như mọi tích của các vành phẳng tuyệt đối.

e) Chứng minh rằng căn của một vành phẳng tuyệt đối thu về 0. Suy ra rằng mọi iđêan hai phía của A là giao của các iđêan trái cực đại chứa nó. f ) Tâm của một vành phẳng tuyệt đối là phẳng tuyệt đối (hãy chứng minh rằng nếu $a\in Z$ và $x\in A$ thỏa mãn $a^2x=a$, thì ta có $a^2x^n\in Z$ với mọi $n\geqslant 0$ và $a(a^2x^3)a=a$). g) Chứng minh rằng vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ là một vành phẳng tuyệt đối.